My talk at PDEs & analysis Seminar (Hebrew University, December 6, 2017)

Asymptotics of the ground state energy for relativistic heavy atoms and molecules

We discuss sharp asymptotics of the ground state energy for the heavy atoms and molecules in the relativistic settings, without magnetic field or with the self-generated magnetic field, and, in particular, relativistic Scott correction term and also Dirac, Schwinger and relativistic correction terms. In particular, we conclude that the Thomas-Fermi density approximates the actual density of the ground state, which opens the way to estimate the excessive negative and positive charges and the ionization energy.

Slides

My talk at Mathematical Analysis and Applications Seminar (Weizmann, December 5, 2017)

Spectral asymptotic for Steklov’s problem in domains with edges (work in progress)

We derive sharp eigenvalue asymptotics for Dirichlet-to-Neumann operator in the domain with edges and discuss obstacle for deriving a sharper (two-term) asymptotics

Slides

My talk at PDEs and Analysis Seminar (ANU, November 7, 2017)

Spectral asymptotics for fractional Laplacians

Consider a compact domain with the smooth boundary in the Euclidean space. Fractional Laplacian is defined on functions supported in this domain as a (non-integer) power of the positive Laplacian on the whole space restricted then to this domain. Such operators appear in the theory of stochastic processes.

It turns out that the standard results about distribution of eigenvalues (including two-term asymptotics) remain true for fractional Laplacians. There are however some unsolved problems.

Slides

My talk at joint UCLA/Caltech Analysis seminar (October 20, 2017)

Eigenvalue Asymptotics for Dirichlet-to-Neumann Operator

Let $X$  be a compact manifold with the boundary $Y$ and   $R(k)$  be a Dirichlet-to-Neumann operator: $R (k):f \to  \partial_n u |_Y$ where u  solves
$$
(\Delta+k^2) u=0,  \  u|_Y=f.
$$
We establish asymptotics as $k\to \infty$  of the number of eigenvalues of   $k^{-1}R (k)$ between $a$  and  $b$.

We will discuss tools, used to solve this problem: sharp semiclassical spectral asymptotics and Birman-Schwinger principle.

This is a joint work with Andrew Hassell, Australian National University.

Slides

My talk at Claremont Graduate University Colloquium (October 18, 2017)

Etudes of Spectral Theory

I briefly describe five old but still actively explored problems of the Spectral Theory of Partial Differential Equations

1.  How eigenvalues are distributed (where eigenvalues often mean squares of the frequencies in the mechanical or electromagnetic problems or energy levels in the quantum mechanics models) and the relation to the behaviour of the billiard trajectories.
2.  Equidistribution  of eigenfunctions and connection to ergodicity of billiard trajectories
(a quantum chaos and  a classical chaos).

3.  Can one hear the shape of the drum?
4.  Nodal lines and Chladni plates.
5.  Strange spectra of quantum systems.

Slides

Dmitry Jakobson made several very useful remarks and suggestions

My talk at V.I.Smirnov seminar (September 4, 2017)

At V.I. Smirnov Seminar on Mathematical Physics

September 4, 2017: Спектральные асимптотики и динамика (Spectral asymptotics and dynamics)

Как доказать гипотезу Вейля? Почему периодические траектории
(геодезические и бильярдные) важны для спектральных асимптотик? Как долго (до каких времён) верна геометрическая оптика? Короткие петли и их вклад. Что делать, когда бильярдные траектории ветвятся? А также: эргодические свойства классической динамики и равнораспределение собственных функций.

Relevant slides

My talk at St. Petersburg University (September 6, 2017)

At Seminar of the Department of Mathematics and Mathematical Physics

September 6, 2017:   Две спектральные задачи для оператора Лапласа (Two spectral problems for Laplace operator)

Две спектральные задачи для оператора Лапласа:

а) Асимптотика собственных значений квазиклассического Дирихле-в-Нейман оператора. Relevant slides

б) Асимптотика собственных значений  дробной степени Лапласиана. Relevant slides

Моей целью будет рассказать общие основные идеи и их применение к двум этим задачам. В частности, я объясню почему принцип Бирмана-Швингера столь важен.

 

 

 

My colloquium talk in St. Petersburg University (September 7, 2017)

Colloquium of Chebyshev Laboratory

September 7, 2017: 100 лет закона Вейля (100 years of Weyl’s law”)

 

В 1911 г. молодой математик Герман Вейль впервые описал распределение собственных значений оператора Лапласа в произвольных областях и выдвинул гипотезу о более точной формуле. Я постараюсь проследить историю результатов, идей и методов. Оказалось, что спектральные асимптотики тесно связаны с поведением классических динамических систем (в частности, бильярдов) и что после модификаций он справедлив для гораздо более общих задач. Более того, оказалось, что закон Вейля может быть обобщен и на случаи непрерывного спектра. Наконец, я расскажу о связи закона Вейля с асимптотикой энергии основного состояния тяжелых атомов и молекул.

While it is blackboard-chalk talk, there are related slides in English and my article with the same title.